Keanehan Bentuk Tak Tentu dalam Analisis Vektor

[Albert Erros]

Moshi moshi.

\section{Keanehan Bentuk Tak Tentu dalam Analisis Vektor}

Andaikan ada sebuah vektor posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Mungkin kita semua akan mengira bahwa ungkapan $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$ itu bernilai nol untuk setiap $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Ternyata dugaan ini keliru, sebab apabila $\vec{r} = \vec{0}$, maka ungkapan $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$ tidaklah bernilai nol mengingat $3/0 - 3(0)/0$ itu merupakan bentuk tak tentu.  Pada kesempatan ini, saya akan menunjukkan hasil yang sebenarnya dari $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$, yaitu bahwa ternyata
$$3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3 = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r})$$
di mana $\delta^{(3)}$ adalah delta Dirac pada ruang $\mathbb{R}^3$.

Untuk menunjukkan kesamaan terakhir ini, mula-mula kita akan menghitung nilai $\nabla^2(1/|\vec{r}|)$ untuk semua $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.

Dengan analisis vektor dan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, kita peroleh bahwa $\nabla^2(1/|\vec{r}|)$ $= \partial_j\partial_j(x_kx_k)^{-1/2}$ $= -\partial_j(x_j(x_kx_k)^{-3/2})$ $= -3(x_kx_k)^{-3/2} + 3x_jx_j(x_kx_k)^{-5/2}$ $= 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$, di mana $x_j$ didefinisikan sedemikan $\vec{r} := x_j\hat{x}_j$ dengan $\{\hat{x}_j ~|~ j\in\{1, 2, 3\}\}$ adalah basis ortonormal, serta didefinisikan $\partial_j := \partial/\partial x_j$.  Di sini kita tidak dapat mengatakan bahwa $|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 = 1/|\vec{r}|^3$, sebab apabila $\vec{r} = \vec{0}$, ungkapan tersebut tidak berlaku, mengingat $0/0$ adalah bentuk tak tentu.

Selanjutnya, kita akan mencoba menerapkan teorema Stokes, yaitu
$$\oint_{\partial V} \vec{A}\cdot d^2\vec{r} = \int_V \nabla\cdot\vec{A} d^3\vec{r}.$$
Dengan memisalkan $\vec{A} := \nabla(1/|\vec{r}|)$ dan $V := \mathbb{R}^3$, maka diperoleh
$$\int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2(1/|\vec{r}|)d^3\vec{r} = \oint_{\partial\mathbb{R}^3} \nabla(1/|\vec{r}|)\cdot d^2\vec{r}.$$
Karena diketahui bahwa
$$d^2\vec{r} := \hat{r}|\vec{r}|^2\sin\theta d\theta\wedge d\phi + \hat{\theta}|\vec{r}|\sin\theta d\phi\wedge d|\vec{r}| + \hat{\phi}|\vec{r}|d|\vec{r}|\wedge d\theta$$
di mana $\hat{r} := \vec{r}/|\vec{r}|$, $\theta := \arctan_2(x_3, \sqrt{x_1^2 + x_2^2})$, $\phi := \arctan_2(x_1, x_2)$, $\hat{\theta} := \vec{e}_\theta/|\vec{e}_\theta|$, $\hat{\phi} := \vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi|$, $\vec{e}_\theta := \partial\vec{r}/\partial\theta$, dan $\vec{e}_\phi := \partial\vec{r}/\partial\phi$, maka
$$\int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2(1/|\vec{r}|)d^3\vec{r} = -\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\theta d\theta d\phi = -4\pi.$$
Terpaksa, kita anggap bahwa $\nabla^2(1/|\vec{r}|) = \alpha\delta^{(3)}(\vec{r})$ di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah tetapan.  Dari sifat delta Dirac, yaitu
$$\int_{\mathbb{R}^3} \delta^{(3)}(\vec{r})d^3\vec{r} = 1,$$
maka diperoleh $\alpha = -4\pi$, sehingga
$$\nabla^2(1/|\vec{r}|) = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}).$$
Karena tadi, kita peroleh bahwa
$$\nabla^2(1/|\vec{r}|) = 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3,$$
maka akhirnya, terbuktilah bahwa
$$3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3 = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}).$$

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.