Shalom aleichem.
\section{Menentukan Lokasi tempat tidak Adanya Gaya Coulomb}
Andaikan terdapat dua buah muatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R}$ yang berturut-turut terletak di posisi $\vec{r}_1, \vec{r}_2 \in \mathbb{R}^3$. Andaikan lokasi tempat muatan uji $q \in \mathbb{R}$ tidak mengalami gaya Coulomb terletak pada posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$. Oleh karena itu, menurut hukum Coulomb, berlakulah kaitan
\[ \kappa\frac{qq_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3}(\vec{r} - \vec{r}_1) + \kappa\frac{qq_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|^3}(\vec{r} - \vec{r}_2) = \vec{0} \]
di mana didefinisikan $\kappa := 1/(4\pi\epsilon_0)$ dengan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa $\mathbb{R}^3$.
Persamaan terakhir dapat disederhanakan menjadi
\[ \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3}(\vec{r} - \vec{r}_1) = \frac{q_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^3}(\vec{r}_2 - \vec{r}) \]
sehingga haruslah dipenuhi
\[ \vec{r}_2 - \vec{r} = k(\vec{r} - \vec{r}_1)\operatorname{sgn}(q_1/q_2) \]
di mana $k \in \mathbb{R}^+$.
Dari persamaan terakhir, diperoleh
\[ \vec{r} = \frac{\vec{r}_2 + k\vec{r}_1\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}{1 + k\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}. \]
Untuk mencari $k$, maka dibutuhkan persamaan skalar yang diperoleh dari magnitudo persamaan kedua, yaitu
\[ \frac{|q_1|}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^2} = \frac{|q_2|}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^2}. \]
Dengan memasukkan persamaan ketiga ke persamaan terakhir, diperoleh
\[ k^2\operatorname{sgn}^2(q_1/q_2) = |q_2/q_1| \]
alias
\[ k = \sqrt{|q_2/q_1|}\operatorname{sgn}(q_2/q_1). \]
Karena $k$ tidak boleh negatif, maka
\[ k = \sqrt{|q_2/q_1|}. \]
Dengan memasukkan persamaan terakhir ini ke persamaan keempat, diperoleh
\[ \vec{r} = \frac{\vec{r}_2 + \sqrt{|q_2/q_1|}\vec{r}_1\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}{1 + \sqrt{|q_2/q_1|}\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}. \]
Persamaan ini terbukti sahih untuk berbagai macam situasi.
Berkah Dalem Gusti.
