Om santi santi om.
Transformasi Laplace $L:C^\infty(\mathbb{R})\to C^\infty(\mathbb{C})$ didefinisikan sedemikian
\[ (L(f))(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \]
di mana $\operatorname{Re}s > 0$.
Apabila $L(f) =: F$, maka $f = L^{-1}(F)$, sehingga untuk mendapatkan invers dari $L$, dapat dilakukan pengintegralan kedua ruas persamaan terakhir, yaitu
\[ \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st'}ds = \int_0^\infty f(t) \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{s(t'-t)}ds\,dt \]
di mana $c$ adalah sebarang konstanta riil, serta integrasi $s$ menelusuri lintasan garis lurus.
Apabila $\operatorname{Im}s =: y$, maka $s := c + iy$, sehingga
\[ \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st'}ds = i\int_0^\infty f(t) \int_{-\infty}^\infty e^{(c+iy)(t'-t)}dy\,dt \]
\[ = i\int_0^\infty f(t) e^{c(t'-t)} \int_{-\infty}^\infty e^{iy(t'-t)}dy\,dt \]
\[ = 2\pi i\int_0^\infty f(t) e^{c(t'-t)} \delta(t' - t)\,dt \]
\[ = 2\pi i\int_{-\infty}^\infty u(t) f(t) e^{c(t'-t)} \delta(t' - t)\,dt \]
\[ = 2\pi i \,u(t') f(t') \]
di mana $\delta:\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ adalah delta Dirac 1-dimensi, serta $u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ adalah fungsi undak satuan Heaviside.
Oleh karena itu, dengan penggantian peubah boneka (dummy variable), diperoleh
\[ \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}ds = 2\pi i \,u(t) f(t). \]
Karena nilai $t$ hanya dibatasi positif ( $t > 0$ ), maka
\[ f(t) = (L^{-1}(F))(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}ds \]
yang biasa dikenal sebagai Integral Bromwich.
Sayonara zetsubou sensei.
