Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.
Andaikan ada sebuah ruang waktu 2-dimensi yang berbentuk permukaan bola 2-dimensi, yaitu
\[ S^2(0,R):=\{(s_1,s_2,s_3)\in\mathbb{R}^3~|~(s_1)^2+(s_2)^2+(s_3)^2=R^2\}, \]
di mana $R$ adalah jari-jari ruang-waktu permukaan bola tersebut yang konstan.
Salah satu parameterisasi ruang-waktu tersebut adalah
\[ s_1 := R\cos{kx}, \]
\[ s_2 := R\sin{kx}\cos\omega{t}, \]
\[ s_3 := R\sin{kx}\sin\omega{t}, \]
di mana $k,\omega\in\mathbb{R}$ adalah dua buah konstanta, serta $(x,t)$ adalah parameter ruang-waktu 2-dimensi tersebut.
Tentu saja, komponen ke-$\mu\nu$ dari 4 komponen tensor metrik manifold ruang-waktu tersebut adalah
\[ g_{\mu\nu} = \sum_{\rho=1}^3 \frac{\partial{s_\rho}}{\partial{q^\mu}} \frac{\partial{s_\rho}}{\partial{q^\nu}}, \]
di mana $q^1:=x$ dan $q^2:=t$, mengingat $g_{\nu\mu}=g_{\mu\nu}$.
Dengan sedikit perhitungan, akan diperoleh $g_{11}=k^2R^2$, $g_{12}=g_{21}=0$, dan $g_{22}=\omega^2R^2\sin^2{kx}$.
Karena untuk partikel cahaya, panjang garis dunia (world-line) -nya harus nol, maka
\[ \sum_{\mu,\nu=1}^2 g_{\mu\nu} dq^\mu dq^\nu = 0, \]
yang tidak lain adalah
\[ k^2R^2dx^2 + \omega^2R^2\sin^2{kx}\,dt^2 = 0, \]
alias (dengan $i^2=-1$)
\[ k\,dx = i\omega\sin{kx}dt \]
alias
\[ \csc{kx}\,dx = i(\omega/k)\,dt. \]
Pengintegralan persamaan terakhir menghasilkan
\[ -\frac{1}{k}\ln\left(\frac{\cot{kx}+\csc{kx}}{\cot(kx_0)+\csc{kx_0}}\right) = i\frac{\omega{t}}{k}, \]
di mana $x_0$ adalah posisi awal partikel cahaya tersebut.
Identitas trigonometri $\cot\alpha+\csc\alpha=\cot(\alpha/2)$ menyebabkan persamaan terakhir menjadi
\[ -\ln\left(\frac{\cot(kx/2)}{\cot(kx_0/2)}\right) = i\omega{t}, \]
alias
\[ \frac{\cot(kx/2)}{\cot(kx_0/2)} = e^{-i\omega{t}}, \]
alias
\[ x = (2/k)\cot^{-1}\left(e^{-i\omega{t}}\cot(kx_0/2)\right). \]
Inilah keluarga lintasan gerak partikel cahaya tersebut di $\mathbb{C}$.
Meskipun demikian, ini hanyalah contoh kemungkinan yang cukup sederhana dari sekian banyak kemungkinan gerak yang seharusnya, mengingat setiap manifold itu memiliki medan tensor metrik yang tidak tunggal karena parameterisasi posisi pada manifold tersebut juga tidak tunggal.
Terima kasih, berjuta terima kasih atas perhatiannya. Salam.
Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.
