Grup Konvolusi Fungsi

[Albert Erros]

Om santi santi om.

Sebuah sistem aljabar $(A,*_1,*_2,\dots,*_n)$ merupakan sebuah himpunan $A$ yang dilengkapi dengan operasi biner $*_1,*_2,\dots,*_n$.  Sebuah operasi biner $*$ di $A$ tersebut mengoperasikan dua buah anggota himpunan $A$ sehingga menghasilkan sebuah anggota himpunan $A$ juga.  Apabila operasi biner $*$ tersebut asosiatif, yaitu bahwa $a*(b*c)=(a*b)*c$ untuk setiap $a,b,c$ anggota $A$, maka sistem aljabar $(A,*)$ ini boleh dikatakan sebagai sebuah semigrup.  Apabila semigrup $(A,*)$ tadi memiliki identitas kiri, yaitu $e_l\in{A}$ sedemikian $e_l*a=a$ untuk setiap $a\in{A}$, maka semigrup tersebut boleh dikatakan beridentitas kiri.  Apabila semigrup $(A,*)$ memiliki identitas kanan, yaitu $e_r\in{A}$ sedemikian $a*e_r=a$ untuk setiap $a\in{A}$, maka semigrup tersebut boleh dikatakan beridentitas kanan.  Apabila semigrup $(A,*)$ memiliki identitas kiri dan identitas kanan sekaligus (yang disebut sebagai identitas saja), yaitu $e\in{A}$ (yang dapat dibuktikan hanya tunggal), maka semigrup tersebut boleh dikatakan beridentitas.  Apabila pada sebuah semigrup $(A,*)$ berlaku bahwa $b*a=a*b$ untuk setiap $a,b\in{A}$, maka semigrup ini boleh dikatakan komutatif (abelan).  Apabila setiap $a$ anggota himpunan $A$ memiliki invers (kebalikan), yaitu $a^{-1}\in{A}$ sedemikian rupa $a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$ di mana $e\in{A}$ merupakan identitas dari semigrup $(A,*)$, maka semigrup $(A,*)$ ini boleh dikatakan sebagai sebuah grup.

Contoh sebuah semigrup komutatif yang bukan merupakan sebuah grup adalah himpunan $C^\infty(\mathbb{R})$, yang berisi semua fungsi licin dari himpunan bilangan riil ke dirinya sendiri, disertai dengan operasi konvolusi $*$, yang didefinisikan sedemikian $(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)ds$ untuk setiap $f,g\in{C^\infty(\mathbb{R})}$.  Dengan pembuktian yang cukup, dapat ditunjukkan bahwa $g*f=f*g$ dan $f*(g*h)=(f*g)*h$ untuk setiap $f,g,h\in{C^\infty(\mathbb{R})}$, sehingga sistem aljabar $(C^\infty(\mathbb{R}),*)$ ini merupakan sebuah semigrup komutatif.  Akan tetapi, semigrup ini konon bukanlah sebuah grup, sebab, untuk sementara ini diketahui bahwa semigrup ini tidak beridentitas dan tidak setiap unsurnya memiliki invers.

Mungkin ada di antara Bapak, Ibu, Saudara, Saudari sekalian yang telah menemukan unsur identitas serta invers dari masing-masing anggota dari semigrup konvolusi ini.  Apabila ada, maka saya akan sangat berterima kasih sekali kepada Bapak, Ibu, Saudara, Saudari sekalian.

Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.

[Albert Erros]

Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.

Ternyata, unsur identitas dari semigrup konvolusi ini adalah delta Dirac $\delta$, yang salah satu wakilannya berbentuk $\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty{e^{ikx}}dk$, sehingga $f*\delta=f$ untuk setiap $f\in{C^\infty(\mathbb{R})}$. Sedangkan invers dari setiap $f\in{C^\infty(\mathbb{R})}$ relatif terhadap operasi biner konvolusi ini adalah fungsi $g:=F^{-1}(1/(2\pi{F(f)}))$ di mana $F$ merupakan transformasi Fourier yang didefinisikan sebagai $(F(f))(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty{f(t)}e^{i\omega{t}}dt$ dengan $i^2=-1$.

Syukur kepada Allah.