Hosana in excelcis.
Andaikan ada sebuah volume berarah $V\subseteq\mathbb{R}^3$, sehingga batasnya berupa sebuah permukaan berarah, yaitu $\partial V$. Andaikan pula ada barisan muatan titik, yaitu $q_1, q_2, q_3, \cdots, q_n$ dan $q'_1, q'_2, q'_3, \cdots, q'_{n'}$ yang berturut-turut terletak di posisi $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3, \cdots, \vec{r}_n \in V$ dan $\vec{r}'_1, \vec{r}'_2, \vec{r}'_3, \cdots, \vec{r}'_{n'} \notin V$, sehingga vektor medan listrik pada titik $\vec{r}\in\mathbb{R}^3$ akibat barisan muatan tersebut secara non-relativistik adalah
\[ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \sum_{j=1}^n q_j \frac{\vec{r} - \vec{r}_j}{|\vec{r} - \vec{r}_j|^3} + \sum_{k=1}^{n'} q'_j \frac{\vec{r} - \vec{r}'_j}{|\vec{r} - \vec{r}'_j|^3} \right) \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa.
\[ \oint_{\partial V} \vec{E}\cdot d^2\vec{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \sum_{j=1}^n q_j \oint_{\partial V} \frac{\vec{r} - \vec{r}_j}{|\vec{r} - \vec{r}_j|^3}\cdot d^2\vec{r} + \sum_{k=1}^{n'} q'_k \oint_{\partial V} \frac{\vec{r} - \vec{r}'_k}{|\vec{r} - \vec{r}'_k|^3}\cdot d^2\vec{r} \right) \]
\[ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \sum_{j=1}^n q_j \int_V \nabla\cdot\frac{\vec{r} - \vec{r}_j}{|\vec{r} - \vec{r}_j|^3} d^3\vec{r} + \sum_{k=1}^{n'} q'_k \int_V \nabla\cdot\frac{\vec{r} - \vec{r}'_k}{|\vec{r} - \vec{r}'_k|^3} d^3\vec{r} \right) \]
\[ = \frac{1}{\epsilon_0} \left( \sum_{j=1}^n q_j \int_V \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r}_j) d^3\vec{r} + \sum_{k=1}^{n'} q'_k \int_V \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r}'_k) d^3\vec{r} \right) \]
\[ = \frac{1}{\epsilon_0} \sum_{j=1}^n q_j \]
karena
\[ \int_V \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r}_j) d^3\vec{r} = 1 \]
dan
\[ \int_V \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r}'_k) d^3\vec{r} = 0. \]
Di sini, $\delta^{(3)}$ adalah delta Dirac 3-dimensi.
Apabila $Q_\text{in} := \sum_{j=1}^n q_j$ adalah muatan yang seluruhnya terletak pada $V$, maka hukum Gauss non-relativistik dapat kita tuliskan sebagai
\[ \oint_{\partial V} \vec{E}\cdot d^2\vec{r} = \frac{Q_\text{in}}{\epsilon_0}. \]
Alhamdulillah hirobbil alamin.
