Ahlan wa Sahlan.
\section{Memampatkan Fungsi}
Sebuah fungsi itu dapat dimampatkan. Sebagai contoh, fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yang didefinisikan oleh $f(x):=\tanh{kx}$. Apabila fungsi ini dimampatkan di titik $0$, maka fungsi ini menjadi $\operatorname{sgn}{x}:=\lim_{k\to\infty}\tanh{kx}$ yang merupakan fungsi tanda (signatur) yang nilainya sama dengan $1$ untuk $x>0$, $0$ untuk $x=0$, dan $-1$ untuk $x<0$. Selanjutnya, kita dapat mendefinisikan fungsi undak satuan Heaviside, yaitu fungsi $u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yang didefinisikan sebagai $u(x)=(1+\operatorname{sgn}{x})/2$, yang nilainya $1$ untuk $x>0$, $1/2$ untuk $x=0$, dan $0$ untuk $x<0$. Fungsi undak satuan Heaviside ini adalah pemampatan dari fungsi $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yang didefinisikan sebagai $g(x):=\frac{1}{2}(1+\tanh{kx})$ dengan mengambil limit $k\to\infty$. Dapat dibuktikan bahwa $\operatorname{sgn}{x}=2u(x)-1$.
Contoh selanjutnya adalah 'fungsi' delta Dirac, yaitu $\delta:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$, yang didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi undak satuan Heaviside, yaitu bahwa $\delta(x)=du(x)/dx$, yang merupakan pemampatan dari fungsi $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yang didefinisikan sebagai $h(x)=\frac{1}{2}k\operatorname{sech}^2{kx}$ dengan mengambil limit $k\to\infty$.
Contoh selanjutnya adalah fungsi turunan pertama dari delta Dirac, yaitu $\delta':\mathbb{R}\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$, yang didefinisikan sebagai $\delta'(x):=d\delta(x)/dx$. Di titik $x=0$, tampak bahwa fungsi $\delta'$ ini mengalami fluktuatif naik-turun secara sangat cepat sekali, bahkan kita tidak dapat melihatnya. Sungguh menakjubkan! Inilah salah satu contoh fungsi-fungsi misterius.
Contoh selanjutnya, adalah fungsi $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yang didefinisikan sebagai $p(x):=e^{-kx^2}$, yang apabila dimampatkan menjadi fungsi, katakanlah, $P:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yaitu $P(x):=\lim_{k\to\infty}e^{-kx^2}$, yang nilainya $1$ untuk $x=0$ dan $0$ untuk $x\neq{0}$. Secara serupa, juga misalkan ada fungsi $q:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yaitu $q(x):=\sin{kx}/(kx)$, yang apabila dimampatkan di titik $0$ menjadi fungsi, katakanlah $Q:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, yaitu $Q(x):=\lim_{k\to\infty}\sin{kx}/(kx)$ yang nilainya $1$ untuk $x=0$ dan $0$ untuk $x\neq{0}$.
Fungsi-fungsi yang telah dimampatkan ini diperoleh dari wakilannya, yaitu fungsi-fungsi yang belum dimampatkan. Tentunya sebuah fungsi mampat memiliki wakilan fungsi tak-mampat-nya yang tidak tunggal. Fungsi-fungsi mampat ini biasanya memiliki sifat-sifat yang khas, misalnya $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-y)dx=f(y)$ dan $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x-y)dx=-f'(y)$ di mana $f'$ adalah turunan pertama dari fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Wakilah fungsi tak-mampat ini semata-mata berguna untuk melihat fluktuasi fungsi-fungsi mampat yang terjadi di titik mampatnya.
Sekian dan terima kasih atas perhatiannya.
Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
