[Jurnal] Bilangan Kompleks

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

Salam damai dan sejahtera bagi Bapak / Ibu / Saudara sekalian yang terkasih …. Pada saat ini perkenankanlah kami menyampaikan jurnal berkala di forum ini … karena kami belum mampu mendirikan forum sendiri …. Berikut ini adalah jurnal sementara yang dapat kami sampaikan …. Saran, kritik, dan koreksi masih sangat dibutuhkan ….

Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan kompleks ${\mathbb{C}:=\{x+\mathrm{i}y~|~x,y\in\mathbb{R}\}}$ (dengan ${\mathrm{i}=\sqrt{-1}}$ ) merupakan jumlahan langsung (direct sum) antara dua buah himpunan bilangan nyata (real) ${\mathbb{R}}$ yang dilengkapi dengan perkalian bilangan kompleks. Tampilan topologis dari ${\mathbb{C}}$ adalah suatu bidang yang luasnya tak hingga, yang dikenal sebagai bidang Argan. Suatu bilangan kompleks merupakan suatu titik pada bidang Argan. Untuk mempermudah penggambaran suatu bilangan kompleks ${a}$ , biasanya orang melukiskan dua buah sumbu yang saling berpotongan tegak lurus, yaitu sumbu nyata (real-axis) dan sumbu khayal (imaginary-axis), lalu meletakkan suatu titik di mana proyeksi titik tersebut ke sumbu nyata bernilai ${\mathrm{Re}\,a}$ yang merupakan bagian nyata (real part) dari ${a}$ , serta proyeksi titik tersebut ke sumbu khayal bernilai ${\mathrm{Im}\,a}$ yang merupakan bagian khayal (imaginary part) dari ${a}$ . Unsur nol dari ${\mathbb{C}}$ adalah ${0}$ , yaitu titik perpotongan sumbu nyata dan sumbu khayal.

Bilangan kompleks ${a:=\mathrm{Re}\,a+\mathrm{i}\,\mathrm{Im}\,a}$ dapat pula dinyatakan dalam bentuk ${a=|a|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\mathrm{Arg}\,a}}$ , di mana ${|a|:=\sqrt{(\mathrm{Re}\,a)^2+(\mathrm{Im}\,a)^2}}$ merupakan modulus dari ${a}$ , serta ${\mathrm{Arg}\,a}$ merupakan argumen (sudut) dari ${a}$ , serta ${\mathrm{Re}\,a=|a|\cos\,\mathrm{Arg}\,a}$ dan ${\mathrm{Im}\,a=|a|\sin\,\mathrm{Arg}\,a}$ .

Untuk setiap ${a,b\in\mathbb{C}}$ , terdapat beberapa identitas berikut.

${\mathrm{Re}\,(ab)=\mathrm{Re}\,a\,\mathrm{Re}\,b-\mathrm{Im}\,a\,\mathrm{Im}\,b}$ ,
${\mathrm{Im}\,(ab)=\mathrm{Re}\,a\,\mathrm{Im}\,b+\mathrm{Im}\,a\,\mathrm{Re}\,b}$ ,
${|ab|^2=(\mathrm{Re}\,a)^2(\mathrm{Re}\,b)^2+(\mathrm{Im}\,a)^2(\mathrm{Im}\,b)^2+(\mathrm{Re}\,a)^2(\mathrm{Im}\,b)^2+(\mathrm{Im}\,a)^2(\mathrm{Re}\,b)^2}$ ,
${|ab|^2=[(\mathrm{Re}\,a)^2+(\mathrm{Im}\,a)^2]\,[(\mathrm{Re}\,b)^2+(\mathrm{Im}\,b)^2]~=|a|^2|b|^2}$ ,
${a^b=|a|^{\mathrm{Re}\,b}\mathrm{e}^{-\mathrm{Arg}\,a\,\mathrm{Im}\,b}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathrm{Arg}\,a\,\mathrm{Re}\,b+\mathrm{Ln}\,|a|\,\mathrm{Im}\,b)}}$ ,
${\sin\,a=\sin\,\mathrm{Re}\,a\,\cosh\,\mathrm{Im}\,a+\mathrm{i}\,\cos\,\mathrm{Re}\,a\,\sinh\,\mathrm{Im}\,a}$ ,
${\cos\,a=\cos\,\mathrm{Re}\,a\,\cosh\,\mathrm{Im}\,a-\mathrm{i}\,\sin\,\mathrm{Re}\,a\,\sinh\,\mathrm{Im}\,a}$ ,

dan sebagainya.

Manfaat bilangan kompleks di antaranya adalah untuk mempermudah perhitungan tegangan dan arus bolak-balik, impedansi (jumlahan kompleks antara resistansi, induktansi, dan kapasitansi), integrasi fungsi gelombang dalam mekanika gelombang, dan sebagainya.

Terima kasih pada forum myQuran atas kesempatan yang diberikan …. Mohon maaf atas segala kesalahan pada topik ini …. Saran, kritik, dan koreksi masih sangat dibutuhkan …. Semoga myQuran semakin jaya …. Salam sejahtera …. Tuhan memberkati ….

Credit for CodeCogs.com: Thanks a lot for the GIF formated formulae ….

Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Formulasi Inspiratif

Berita:

Penulis Topik: [Jurnal] Bilangan Kompleks (Dibaca 2242 kali)

trans

[Jurnal] Bilangan Kompleks