Laju Nilai Harap Besaran Fisis

[Albert Erros]

Ahlan wa Sahlan.

\section{Laju Nilai Harap Besaran Fisis}

Andaikan ada sebuah besaran fisis $Q(x, p, t) \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada posisi $x \in \mathbb{R}$, momentum linier $p \in \mathbb{R}$, dan waktu $t \in \mathbb{R}$, yang diwakili oleh operator linier $\hat{Q}$ yang Hermitean dan hanya bergantung pada waktu $t$.  Andaikan ada ket keadaan kuantum $|\psi\rangle$ yang normal, yaitu bahwa $\|\psi\|^2 = \langle\psi|\psi\rangle = 1$, dan hanya bergantung pada $t$, serta memenuhi persamaan Schrodinger, yaitu $\hat{H}|\psi\rangle  = i\hbar(d/dt)|\psi\rangle$, di mana $\hat{H}$ adalah operator Hamiltonian.  Didefinisikan pula $\langle x|\psi\rangle  := \psi(x)$ dan $\langle p|\psi\rangle  := \tilde{\psi}(p)$ di mana $\tilde{\psi}$ adalah transformasi Fourier dari $\psi$.  Di sini, $\langle p|\hat{Q}|x\rangle  = Q(x, p, t)$.

Oleh karena itu, laju nilai harap dari $Q$ adalah
$$\frac{d}{dt}\langle  Q\rangle _\psi = \frac{d}{dt}(\langle \psi|\hat{Q}|\psi\rangle ) = \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle$$
$$= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{\partial}{\partial t}(\langle \psi|p\rangle ) \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  x|\psi\rangle )\right)$$
$$= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right)$$
$$= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\hat{H}|\psi\rangle \right)$$
$$= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{i}{\hbar}\langle \psi|\hat{H}|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\hat{H}|\psi\rangle \right)$$
$$= \frac{i}{\hbar}\langle \psi|(\hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H})|\psi\rangle  + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle.$$
Oleh karena itu,
$$\frac{d}{dt}\langle  Q\rangle _\psi = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|[\hat{H}, \hat{Q}]|\psi\rangle  + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle$$
di mana didefinisikan komutasi $[\hat{H}, \hat{Q}] := \hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H}$.

Untuk menghitung $\langle \psi|(d\hat{Q}/dt)|\psi\rangle$, dapat dilakukan penguraian, yaitu
$$\langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle  = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle  x|\psi\rangle$$
$$= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \tilde{\psi}^*(p) \frac{\partial Q(x, p, t)}{\partial t} \psi(x).$$

Untuk mencari $\tilde{\psi}(p)$, dapat dilakukan penguraian, yaitu
$$\tilde{\psi}(p) = \langle p|\psi\rangle  = \int_{\mathbb{R}} dx \langle p|x\rangle  \langle x|\psi\rangle .$$

Untuk mencari $\langle p|x\rangle$, dapat dilakukan penguraian dengan tambahan posisi lain $x' \in \mathbb{R}$, yaitu
$$\langle x'|x\rangle  = \int_{\mathbb{R}} dp \langle x'|p\rangle  \langle p|x\rangle$$
yang harus sama dengan delta Dirac $\delta(x - x')$, sehingga
$$\langle x'|x\rangle  = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{\mathbb{R}} dp e^{ip(x - x')/\hbar},$$
sehingga haruslah
$$\langle x|p\rangle  = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}.$$

Benedictus qui venit in nomine Domini.