Evolut Kurva

[Albert Erros]

Hosana in excelcis.

Evolut suatu kurva merupakan himpunan titik-titik pusat kelengkungan di setiap titik dari kurva tersebut. Untuk mencari pusat kelengkungan tersebut, mula-mula kurva hendak dianggap sebagai trayektori lintasan sebuah partikel titik dengan posisi $\vec{r}$ pada waktu $t$ di $\mathbb{R}^3$. Tentu saja, kecepatan partikel tersebut pada saat $t$ adalah $\vec{v}:=\dot{\vec{r}}$ (dengan $\dot{Q}:=dQ/dt$), serta percepatannya pada saat $t$ adalah $\vec{a}:=\dot{\vec{v}}:=\ddot{\vec{r}}$.

Percepatan sentripetal suatu partikel yang bergerak pada posisi $\vec{r}$ pada saat $t$ adalah $\vec{a}_s:=\vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{n_v})\vec{n_v}$ dengan $\vec{n_v}:=\vec{v}/v$ dan $v:=|\vec{v}|$, sedangkan besar percepatan sentripetalnya adalah

\[ |\vec{a}_s| = \frac{v^2}{|\vec{s}-\vec{r}|} \]

dengan $\vec{s}$ adalah posisi pusat kelengkungan kurva pada titik $r$. Selain itu, harus berlaku juga bahwa $|\vec{a}_s|^2=a^2-(\vec{a}\cdot\vec{n_v})^2$, dengan $a:=|\vec{a}|$.

Tentu saja,

\[ \vec{s}-\vec{r} = |\vec{s}-\vec{r}|\frac{\vec{a}_s}{|\vec{a}_s|} = \frac{v^2\vec{a}_s}{|\vec{a}_s|^2} \]
\[ = \frac{v^2[\vec{a}-\vec{n_v}(\vec{n_v}\cdot\vec{a})]}{a^2-(\vec{n_v}\cdot\vec{a})^2} = \frac{v^2[v^2\vec{a}-\vec{v}(\vec{v}\cdot\vec{a})]}{v^2a^2-(\vec{v}\cdot\vec{a})^2} = \frac{v^2(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}\times\vec{a}|^2} \]
\[ = \frac{|\dot{\vec{r}}|^2(\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}})\times\dot{\vec{r}}}{|\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}}|^2}. \]

Dengan demikian, $\{\vec{s}\}$ menjadi evolut bagi $\{\vec{r}\}$.


Haleluya.

[Albert Erros]

Bismillahirrahmanirrahim.

Misalkan di $\mathbb{R}^3$ ada elips $\{(x,y,z)~|~x^2/a^2+y^2/b^2=1,~z=0\}$, yang parameter-isasi-nya (misalnya) $x=a\cos\phi$ dan $y=b\sin\phi$, sehingga $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}=\vec{i}a\cos\phi+\vec{j}b\sin\phi$. Apabila $\dot{Q}:=dQ/d\phi$ dan $\ddot{Q}:=d\dot{Q}/d\phi$, maka $\dot{\vec{r}}=-\vec{i}a\sin\phi+\vec{j}b\cos\phi$ dan $\ddot{\vec{r}}=-\vec{i}a\cos\phi-\vec{j}b\sin\phi=-\vec{r}$, serta $|\dot{\vec{r}}|^2=a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi$.

Selanjutnya, $\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}}=\vec{k}ab$, lantas $(\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}})\times\dot{\vec{r}}=-ab(\vec{i}b\cos\phi+\vec{j}a\sin\phi)$ serta $|\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}}|^2=a^2b^2$, sehingga

\[ \vec{s}-\vec{r}=-\frac{a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi}{ab}(\vec{i}b\cos\phi+\vec{j}a\sin\phi). \]

Karena $\vec{s}:=x_e\vec{i}+y_e\vec{j}$ merupakan posisi pusat kelengkuangan elips di titik $\vec{r}$, maka
\[ x_e=\frac{a^2-b^2}{a}\cos^3\phi \]
dan
\[ y_e=\frac{b^2-a^2}{b}\sin^3\phi. \]

Mengingat
\[ \cos^2\phi=\left(\frac{ax_e}{a^2-b^2}\right)^{2/3} \]
dan
\[ \sin^2\phi=\left(\frac{by_e}{a^2-b^2}\right)^{2/3}, \]
maka $\{(x,y,z)~|~(ax_e)^{2/3}+(by_e)^{2/3}=(a^2-b^2)^{2/3},~z=0\}$ merupakan evolut bagi elips tersebut.


Hosana in excelcis.