Terpujilah Kristus.
Sebagian besar dari kita telah mampu menentukan kelengkungan ruang-waktu dengan cara menghitung tensor kelengkungan Riemann dan skalar kelengkungan Ricci, tetapi kita untuk sementara ini belum dapat 'melihat' bentuk ruang-waktu kita secara utuh yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^{10}$. Sebenarnya, sekedar menentukan tensor kelengkungan Riemann untuk ruang-waktu kita itu bukanlah berarti kita telah 'melihat' bentuk ruang-waktu seperti kita mempelajari ilmu geometri analitik, yaitu mencari tempat kedudukan sebuah objek geometris yang terbenam di dalam ruang $\mathbb{R}^n$.
Untuk melihat bentuk salah satu dari berbagai ruang-waktu, mula-mula kita perlu mengetahui berbagai kemungkinan gerak partikel cahaya di ruang $\mathbb{R}^3$, yang diwakili oleh keluarga kurva berparameterkan waktu $t\in\mathbb{R}$. Sebagai contoh, partikel cahaya yang bergerak lurus beraturan ke segala arah dengan kelajuan $c:=299792458\text{m/s}$, dengan koordinat-koordinat Cartesian $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ yaitu
\[ x := x_0 + ct\sin\theta\cos\phi, \]
\[ y := y_0 + ct\sin\theta\sin\phi, \]
\[ z := z_0 + ct\cos\theta, \]
di mana $(x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3$ adalah posisi awal partikel cahaya tersebut (yang konstan), serta $\theta\in(0,\pi)$ dan $\phi\in(0,2\pi)$ berturut-turut adalah sudut arah zenital dan azimutal gerak partikel cahaya tersebut, sehingga pengambilan diferensial dari ketiga persamaan tersebut menghasilkan
\[ dx = c\,dt\sin\theta\cos\phi, \]
\[ dy = c\,dt\sin\theta\sin\phi, \]
\[ dz = c\,dt\cos\theta. \]
Dari identitas trigonometri $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ketiga persamaan terakhir dapat disatukan menjadi
\[ dx^2 + dy^2 + dz^2 = c^2dt^2 \]
atau
\[ dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2dt^2 = 0. \]
Khusus untuk partikel cahaya, panjang garis dunia (\emph{world-line}) -nya adalah nol, yaitu bahwa
\[ \sum_{\mu,\nu=1}^4 g_{\mu\nu} dq^\mu dq^\nu = 0 \]
di mana $q^1:=x$, $q^2:=y$, $q^3:=z$, dan $q^4:=t$, serta $g_{\mu\nu}$ adalah komponen ke-$\mu\nu$ dari 16 komponen dari tensor metrik di ruang-waktu tersebut. Karena tensor metrik itu merupakan tensor simetrik, yaitu bahwa $g_{\nu\mu}=g_{\mu\nu}$, maka sebenarnya tensor metrik tersebut hanya memiliki $6+4=10$ komponen, bukan 16 komponen.
Dengan membandingkan kedua persamaan terakhir ini, kita peroleh bahwa $g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$, $g_{44}=-c^2$, dan $g_{12}=g_{21}=g_{13}=g_{31}=g_{14}=g_{41}=g_{23}=g_{32}=g_{24}=g_{42}=g_{34}=g_{43}$ $=0$.
Dalam analisis vektor dan tensor, komponen kovarian tensor metrik, yaitu $g_{\mu\nu}$, didefinisikan sebagai perkalian titik antara dua buah vektor basis kontravarian dari sebuah manifold yang terbenam (dalam kasus kita ini) di ruang $\mathbb{R}^{10}$. Kedua vektor basis tersebut adalah $\vec{e}_\mu:=\partial\vec{s}/\partial{q^\mu}$ dan $\vec{e}_\nu:=\partial\vec{s}/\partial{q^\nu}$, di mana $\vec{s}:=(s_1,s_2,s_3,\cdots,s_{10})\in\mathbb{R}^{10}$ merupakan posisi setiap titik pada manifold ruang-waktu tersebut yang dibenamkan di ruang $\mathbb{R}^{10}$, sehingga $g_{\mu\nu}=\vec{e}_\mu\cdot\vec{e}_\nu$, alias
\[ \sum_{\rho=1}^{10} \frac{\partial{s_\rho}}{\partial{q^\mu}} \frac{\partial{s_\rho}}{\partial{q^\nu}} = g_{\mu\nu} \]
di mana $\mu=1,2,3,4$ dan $\nu=1,\cdots,\mu$.
Sebenarnya, persamaan diferensial parsial terakhir tersebut merupakan 10 buah persamaan diferensial parsial yang harus diselesaikan untuk $(s_1,\cdots,s_{10})$ sebagai fungsi 4 buah parameter ruang-waktu, yaitu $(x,y,z,t)$. Inilah bentuk ruang waktu yang sedang kita bahas ini.
Selama kita belum mampu menyelesaikan sistem persamaan diferensial parsial tersebut (yang tentu saja terdiri dari 10 persamaan diferensial parsial), kita tidak dapat melihat bentuk ruang-waktu yang ingin kita lihat ini. Prosedur pencarian penyelesaian umum dari sistem persamaan ini sangat rumit, sehingga yang dapat kita lakukan semata-mata hanyalah mencari solusi deret pangkat maupun menebak penyelesaiannya melalui intuisi.
Terima kasih, berjuta terima kasih atas perhatiannya. Salam.
Terpujilah Kristus.
