Tulisan Terbaru

Halaman: [1] 2 3 ... 10
1
Matematika Fisika Teori / Menalar Turunan Lie
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Mei 31, 2019, 07:57:20 PM »
\section{Menalar Turunan Lie}

Turunan Lie dari tensor $T := {T^{\mu_1,\cdots,\mu_m}}_{\nu_1,\cdots,\nu_n}e_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes e_{\mu_m}\otimes e^{\nu^1}\otimes\cdots\otimes e^{\nu_n}$ sepanjang vektor $X := X^\lambda e_\lambda$ di titik $x\in M$ pada manifold $M$ berdimensi $p$ didefinisikan sebagai
\[ L_X T := \left(\lim_{\epsilon\to 0}\frac{T_x(x + \epsilon X)}{\epsilon}\right)_{\partial X/\partial x^\mu = 0} \]
untuk setiap $\mu\in\{1,\cdots,p\}$.
2
Listrik Magnet / Bentuk Kovarian dari Sistem Persamaan Maxwell
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Mei 15, 2019, 10:47:20 PM »
\section{Bentuk Kovarian dari Sistem Persamaan Maxwell}

Sistem persamaan Maxwell yang paling umum adalah
\[ \nabla\cdot\vec{D} = \rho, ~~~~~ \nabla\cdot\vec{B} = 0, ~~~~~ \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, ~~~~~ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \]
di mana
\[ \vec{D} = \epsilon_0\vec{E} + \vec{P} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \vec{B} = \mu_0\vec{H} + \vec{M}. \]
Dari persamaan $\nabla\cdot\vec{B} = 0$, diperoleh $\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$, sehingga
\[ \nabla\times\left(\vec{E} + \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right) = \vec{0} \]
yang dengan menggunakan teori tera $\nabla\times\nabla\varphi = \vec{0}$, persamaan terakhir identik dengan
\[ \vec{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}. \]
Dari persamaan $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$, diperoleh
\[ \epsilon_0\nabla\cdot\vec{E} + \nabla\cdot\vec{P} = \rho \]
alias
\[ -\epsilon_0\left(\nabla^2\varphi + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{A}\right) + \nabla\cdot\vec{P} = \rho \]
alias
\[ -\epsilon_0c(\nabla^2A^0 + \partial_0\nabla\cdot\vec{A}) + \nabla\cdot\vec{P} = \rho \]
alias
\[ (-1/\mu_0)(\nabla^2A^0 + \partial_0\nabla\cdot\vec{A}) + c\nabla\cdot\vec{P} = J^0 \]
alias
\[ (-1/\mu_0)(\partial_j\partial^jA^0 + \partial_0\partial_jA^j) + c\partial_jP^j = J^0 \]
di mana $A^0 := \varphi/c$, $A^1 := A_x$, $A^2 := A_y$, $A^3 := A_z$, $J^0 := \rho c$, $J^1 := J_x$, $J^2 := J_y$, $J^3 := J_z$, $\partial_0 := (1/c)\partial/\partial t$, $\partial_1 := \partial/\partial x$, $\partial_2 := \partial/\partial y$, $\partial_3 := \partial/\partial z$, $A_\mu := g_{\mu\nu}A^\nu$, $J_\mu := g_{\mu\nu}J^\nu$, $\partial^\mu := g^{\mu\nu}\partial_\nu$, $g_{00} = -1$, $g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1$, dan $(g_{\mu\nu})_{\mu\neq\nu} = 0$.

Dari persamaan $\nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t$ dan $\vec{H} = (\vec{B} - \vec{M})/\mu_0$, diperoleh
\[ (1/\mu_0)(\nabla\times\vec{B} - \nabla\times\vec{M}) = \vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} + \frac{\partial\vec{P}}{\partial t} \]
alias
\[ (1/\mu_0)(\nabla(\nabla\cdot\vec{A}) - \nabla^2\vec{A} - \nabla\times\vec{M}) = \vec{J} - \epsilon_0\left(\nabla\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}\right) + \frac{\partial\vec{P}}{\partial t} \]
alias (dengan menerapkan identitas $\epsilon_0\mu_0c^2 = 1$)
\[ (1/\mu_0)(\partial^j\partial_kA^k - \partial_k\partial^kA^j - \epsilon^{jkl}\partial_kM_l) \]
\[ = J^j - \epsilon_0(c\partial^j\partial_0\varphi + c^2\partial_0\partial_0A^j) + c\partial_0P^j \]
\[ = J^j - \epsilon_0c^2(\partial^j\partial_0A^0 + \partial_0\partial_0A^j) + c\partial_0P^j \]
\[ = J^j - (1/\mu_0)(\partial^j\partial_0A^0 + \partial_0\partial_0A^j) + c\partial_0P^j \]
alias
\[ \partial^j\partial_kA^k - \partial_k\partial^kA^j - \epsilon^{jkl}\partial_kM_l = \mu_0J^j - \partial^j\partial_0A^0 + \partial_0\partial_0A^j + \mu_0c\partial_0P^j \]
alias
\[ \partial^j\partial_\mu A^\mu - \partial_\mu\partial^\mu A^j = \mu_0J^j + \epsilon^{jkl}\partial_kM_l + \mu_0c\partial_0P^j. \]
Karena dari persamaan terdahulu telah diperoleh
\[ \partial_j\partial^jA^0 - \partial^0\partial_jA^j - \mu_0c\partial_jP^j = -\mu_0J^0 \]
alias
\[ \partial^0\partial_jA^j - \partial_j\partial^jA^0 = \mu_0J^0 - \mu_0c\partial_jP^j \]
alias
\[ \partial^0\partial_jA^j + \partial^0\partial_0A^0 - \partial_j\partial^jA^0 - \partial_0\partial^0A^0 = \mu_0J^0 - \mu_0c\partial_jP^j \]
alias
\[ \partial^0\partial_\mu A^\mu - \partial_\mu\partial^\mu A^0 = \mu_0J^0 - \mu_0c\partial_jP^j, \]
maka diperoleh
\[ \partial^\nu\partial_\mu A^\mu - \partial_\mu\partial^\mu A^\nu = \mu_0J^\nu + C^\nu \]
alias
\[ \partial_\mu(\partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu) = \mu_0J^\nu + C^\nu \]
alias
\[ \partial_\mu F^{\nu\mu} = \mu_0J^\nu + C^\nu \]
yang merupakan bentuk kovarian dari sistem persamaan Maxwell, di mana $C^j := \epsilon^{jkl}\partial_kM_l + \mu_0c\partial_0P^j$ dan $C^0 := -\mu_0c\partial_jP^j$ serta $F^{\nu\mu} := \partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu$.
3
Fisika Kuantum / Laju Nilai Harap Besaran Fisis
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada April 11, 2019, 02:17:34 PM »
\section{Laju Nilai Harap Besaran Fisis}

Andaikan ada sebuah besaran fisis $Q(x, p, t) \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada posisi $x \in \mathbb{R}$, momentum linier $p \in \mathbb{R}$, dan waktu $t \in \mathbb{R}$, yang diwakili oleh operator linier $\hat{Q}$ yang Hermitean dan hanya bergantung pada waktu $t$.  Andaikan ada ket keadaan kuantum $|\psi\rangle $ yang normal, yaitu bahwa $\|\psi\|^2 = \langle\psi|\psi\rangle = 1$, dan hanya bergantung pada $t$, serta memenuhi persamaan Schrodinger, yaitu $\hat{H}|\psi\rangle  = i\hbar(d/dt)|\psi\rangle $, di mana $\hat{H}$ adalah operator Hamiltonian.  Didefinisikan pula $\langle x|\psi\rangle  := \psi(x)$ dan $\langle p|\psi\rangle  := \tilde{\psi}(p)$ di mana $\tilde{\psi}$ adalah transformasi Fourier dari $\psi$.  Di sini, $\langle p|\hat{Q}|x\rangle  = Q(x, p, t)$.

Oleh karena itu, laju nilai harap dari $Q$ adalah
\[ \frac{d}{dt}\langle  Q\rangle _\psi = \frac{d}{dt}(\langle \psi|\hat{Q}|\psi\rangle ) = \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{\partial}{\partial t}(\langle \psi|p\rangle ) \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  x|\psi\rangle )\right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\hat{H}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{i}{\hbar}\langle \psi|\hat{H}|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\hat{H}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|(\hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H})|\psi\rangle  + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle.  \]
Oleh karena itu,
\[ \frac{d}{dt}\langle  Q\rangle _\psi = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|[\hat{H}, \hat{Q}]|\psi\rangle  + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle  \]
di mana didefinisikan komutasi $[\hat{H}, \hat{Q}] := \hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H}$.

Untuk menghitung $\langle \psi|(d\hat{Q}/dt)|\psi\rangle $, dapat dilakukan penguraian, yaitu
\[ \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle  = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle  x|\psi\rangle  \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \tilde{\psi}^*(p) \frac{\partial Q(x, p, t)}{\partial t} \psi(x). \]

Untuk mencari $\tilde{\psi}(p)$, dapat dilakukan penguraian, yaitu
\[ \tilde{\psi}(p) = \langle p|\psi\rangle  = \int_{\mathbb{R}} dx \langle p|x\rangle  \langle x|\psi\rangle . \]

Untuk mencari $\langle p|x\rangle $, dapat dilakukan penguraian dengan tambahan posisi lain $x' \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ \langle x'|x\rangle  = \int_{\mathbb{R}} dp \langle x'|p\rangle  \langle p|x\rangle  \]
yang harus sama dengan delta Dirac $\delta(x - x')$, sehingga
\[ \langle x'|x\rangle  = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{\mathbb{R}} dp e^{ip(x - x')/\hbar}, \]
sehingga haruslah
\[ \langle x|p\rangle  = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}. \]
4
Fisika Dasar / Jangkauan Maksimum Gerak Parabola pada Bidang Miring
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Maret 07, 2019, 01:19:47 AM »
\[ a_x = -g\sin\alpha \]
\[ a_y = -g\cos\alpha \]
\[ v_x = v_0\cos\beta - gt\sin\alpha \]
\[ v_y = v_0\sin\beta - gt\cos\alpha \]
\[ x = v_0t\cos\beta - (1/2)gt^2\sin\alpha \]
\[ y = v_0t\sin\beta - (1/2)gt^2\cos\alpha \]
\[ y = 0 \]
\[ t = T = (2v_0\sin\beta)/(g\cos\alpha) \]
\[ R = v_0T\cos\beta - (1/2)gT^2\sin\alpha \]
\[ R = \frac{2v_0^2\sin\beta}{g\cos\alpha}(\cos\beta - \sin\beta\tan\alpha) \]
\[ dR/d\beta = 0 \]
\[ \tan2\beta = \cot\alpha \]
\[ \beta = \pi/4 - \alpha/2 \]
5
Fisika Matematik / Keanehan Bentuk Tak Tentu dalam Analisis Vektor
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Februari 10, 2019, 08:50:05 PM »
\section{Keanehan Bentuk Tak Tentu dalam Analisis Vektor}

Andaikan ada sebuah vektor posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Mungkin kita semua akan mengira bahwa ungkapan $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$ itu bernilai nol untuk setiap $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Ternyata dugaan ini keliru, sebab apabila $\vec{r} = \vec{0}$, maka ungkapan $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$ tidaklah bernilai nol mengingat $3/0 - 3(0)/0$ itu merupakan bentuk tak tentu.  Pada kesempatan ini, saya akan menunjukkan hasil yang sebenarnya dari $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$, yaitu bahwa ternyata
\[ 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3 = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}) \]
di mana $\delta^{(3)}$ adalah delta Dirac pada ruang $\mathbb{R}^3$.

Untuk menunjukkan kesamaan terakhir ini, mula-mula kita akan menghitung nilai $\nabla^2(1/|\vec{r}|)$ untuk semua $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.

Dengan analisis vektor dan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, kita peroleh bahwa $\nabla^2(1/|\vec{r}|)$ $= \partial_j\partial_j(x_kx_k)^{-1/2}$ $= -\partial_j(x_j(x_kx_k)^{-3/2})$ $= -3(x_kx_k)^{-3/2} + 3x_jx_j(x_kx_k)^{-5/2}$ $= 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$, di mana $x_j$ didefinisikan sedemikan $\vec{r} := x_j\hat{x}_j$ dengan $\{\hat{x}_j ~|~ j\in\{1, 2, 3\}\}$ adalah basis ortonormal, serta didefinisikan $\partial_j := \partial/\partial x_j$.  Di sini kita tidak dapat mengatakan bahwa $|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 = 1/|\vec{r}|^3$, sebab apabila $\vec{r} = \vec{0}$, ungkapan tersebut tidak berlaku, mengingat $0/0$ adalah bentuk tak tentu.

Selanjutnya, kita akan mencoba menerapkan teorema Stokes, yaitu
\[ \oint_{\partial V} \vec{A}\cdot d^2\vec{r} = \int_V \nabla\cdot\vec{A} d^3\vec{r}. \]
Dengan memisalkan $\vec{A} := \nabla(1/|\vec{r}|)$ dan $V := \mathbb{R}^3$, maka diperoleh
\[ \int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2(1/|\vec{r}|)d^3\vec{r} = \oint_{\partial\mathbb{R}^3} \nabla(1/|\vec{r}|)\cdot d^2\vec{r}. \]
Karena diketahui bahwa
\[ d^2\vec{r} := \hat{r}|\vec{r}|^2\sin\theta d\theta\wedge d\phi + \hat{\theta}|\vec{r}|\sin\theta d\phi\wedge d|\vec{r}| + \hat{\phi}|\vec{r}|d|\vec{r}|\wedge d\theta \]
di mana $\hat{r} := \vec{r}/|\vec{r}|$, $\theta := \arctan_2(x_3, \sqrt{x_1^2 + x_2^2})$, $\phi := \arctan_2(x_1, x_2)$, $\hat{\theta} := \vec{e}_\theta/|\vec{e}_\theta|$, $\hat{\phi} := \vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi|$, $\vec{e}_\theta := \partial\vec{r}/\partial\theta$, dan $\vec{e}_\phi := \partial\vec{r}/\partial\phi$, maka
\[ \int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2(1/|\vec{r}|)d^3\vec{r} = -\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\theta d\theta d\phi = -4\pi. \]
Terpaksa, kita anggap bahwa $\nabla^2(1/|\vec{r}|) = \alpha\delta^{(3)}(\vec{r})$ di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah tetapan.  Dari sifat delta Dirac, yaitu
\[ \int_{\mathbb{R}^3} \delta^{(3)}(\vec{r})d^3\vec{r} = 1, \]
maka diperoleh $\alpha = -4\pi$, sehingga
\[ \nabla^2(1/|\vec{r}|) = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}). \]
Karena tadi, kita peroleh bahwa
\[ \nabla^2(1/|\vec{r}|) = 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3, \]
maka akhirnya, terbuktilah bahwa
\[ 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3 = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}). \]
6
Fisika / Waktu Relatif
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Februari 02, 2019, 06:54:11 PM »
\section{Waktu Relatif}

Besaran waktu itu merupakan pelabelan (penyematan) nilai yang disepakati oleh sebuah benda (pengamat).

Andaikan pada suatu saat tertentu, waktu menurut pengamat $A$ adalah $t_A \in \mathbb{R}$, serta waktu menurut pengamat $B$ adalah $t_B \in \mathbb{R}$.  Andaikan pula, pada suatu saat tertentu yang lain, waktu menurut pengamat $A$ adalah $t'_A \in \mathbb{R}$, serta waktu menurut pengamat $B$ adalah $t'_B \in \mathbb{R}$.  Apabila hubungan antara waktu menurut $A$, yaitu $T_A \in \mathbb{R}$, dan waktu menurut $B$, yaitu $T_B \in \mathbb{R}$ adalah linier, maka berlakulah kaitan
\[ T_B = MT_A + N \]
di mana $M, N \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian.

Dengan memasukkan nilai $(T_A, T_B) = (t_A, t_B)$ dan $(T_A, T_B) = (t'_A, t'_B)$, maka diperoleh sistem persamaan
\[ t_B = Mt_A + N ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ t'_B = Mt'_A + N \]
yang apabila disajikan dalam bentuk matriks, keduanya menjadi
\[ \begin{pmatrix} t_B \\ t'_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_A & 1 \\ t'_A & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M \\ N \end{pmatrix}. \]

Dengan aturan Cramer, serta dengan mendefinisikan
\[ T := \begin{vmatrix} t_A & 1 \\ t'_A & 1 \end{vmatrix}, ~~~~~ m := \begin{vmatrix} t_B & 1 \\ t'_B & 1 \end{vmatrix}, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ n := \begin{vmatrix} t_A & t_B \\ t'_A & t'_B \end{vmatrix}, \]
alias
\[ T = t_A - t'_A, ~~~~~ m = t_B - t'_B, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ n = t_At'_B - t'_At_B, \]
sehingga
\[ M = \frac{m}{T} = \frac{t_B - t'_B}{t_A - t'_A} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ N = \frac{n}{T} = \frac{t_At'_B - t'_At_B}{t_A - t'_A}. \]
Dengan memasukkan nilai $M$ dan $N$ ke persamaan pertama, diperoleh hubungan relatif antara $T_A$ dan $T_B$, yaitu
\[ T_B = \frac{(t_B - t'_B)T_A + (t_At'_B - t'_At_B)}{t_A - t'_A}. \]

Rumus ini ditemukan oleh R. Tao R. H.
7
Fisika Matematik / Deret Ganda
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Februari 02, 2019, 11:37:07 AM »
\section{Deret Ganda}

Secara umum, sebuah deret ganda memiliki bentuk
\[ S := \sum_{j_1,\cdots,j_n\in\mathbb{N}} u_{j_1,\cdots,j_n} \]
di mana $u_{j_1,\cdots,j_n} \in \mathbb{R}$ untuk setiap $j_1,\cdots,j_n\in\mathbb{N}$.

Deret ganda $S$ ini dapat dianggap sebagai deret tunggal, yaitu
\[ S = \sum_{j_k\in\mathbb{N}} v_{j_k} \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$ di mana
\[ v_{j_k} := \sum_{j_1,\cdots,j_{k-1},j_{k+1},\cdots,j_n\in\mathbb{N}} u_{j_1,\cdots,j_n} \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$.

Melalui tes rasio, deret ganda $S$ dapat diuji konvergenitasnya, dengan menganggap $S$ adalah deret tunggal, yaitu bahwa
\[ \lim_{j_k\to\infty} \left|\frac{v_{j_k + 1}}{v_{j_k}}\right| < 1 \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$.

Dengan memasukkan nilai $v_{j_k}$, diperoleh syarat konvergenitas deret ganda $S$ tersebut, yaitu
\[ \lim_{j_k\to\infty} \left|\frac{\sum_{j_1,\cdots,j_{k-1},j_{k+1},\cdots,j_n\in\mathbb{N}} u_{j_1,\cdots,j_{k - 1},(j_k + 1),j_{k + 1},\cdots,j_n}}{\sum_{j'_1,\cdots,j'_{k-1},j'_{k+1},\cdots,j'_n\in\mathbb{N}} u_{j'_1,\cdots,j'_n}}\right| < 1 \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$.

Apabila persamaan terakhir dipenuhi, maka deret ganda $S$ bersifat konvergen.
8
Matematika / Fungsi Tanda
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Februari 01, 2019, 11:19:25 AM »
\section{Fungsi Tanda}

Fungsi tanda $\operatorname{sgn}\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ didefinisikan sedemikian
\[ \operatorname{sgn}x := \begin{cases}  1 & \text{jika $x > 0$} \\ 0 & \text{jika $x = 0$} \\ -1 & \text{jika $x < 0$} \end{cases}. \]
Sifat-sifat dari fungsi $\operatorname{sgn}$ ini antara lain
\[ \operatorname{sgn}(xy) = (\operatorname{sgn}x)(\operatorname{sgn}y) \]
dan
\[ \operatorname{sgn}(1/x) = 1/\operatorname{sgn}x \]
untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$.

Selain itu, diperoleh teorema, yaitu
\[ |x| = x\operatorname{sgn}x \]
dan
\[ x = |x|\operatorname{sgn}x \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$

Hati-hati, bahwa ternyata
\[ (\operatorname{sgn}x)^2 \neq 1 \]
melainkan
\[ (\operatorname{sgn}x)^2 = \begin{cases} 0 & \text{jika $x = 0$} \\ 1 & \text{jika $x \neq 0$} \end{cases} \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$.
9
Listrik Magnet / Menentukan Lokasi tempat tidak Adanya Gaya Coulomb
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Januari 31, 2019, 05:15:32 PM »
\section{Menentukan Lokasi tempat tidak Adanya Gaya Coulomb}

Andaikan terdapat dua buah muatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R}$ yang berturut-turut terletak di posisi $\vec{r}_1, \vec{r}_2 \in \mathbb{R}^3$.  Andaikan lokasi tempat muatan uji $q \in \mathbb{R}$ tidak mengalami gaya Coulomb terletak pada posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Oleh karena itu, menurut hukum Coulomb, berlakulah kaitan
\[ \kappa\frac{qq_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3}(\vec{r} - \vec{r}_1) + \kappa\frac{qq_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|^3}(\vec{r} - \vec{r}_2) = \vec{0} \]
di mana didefinisikan $\kappa := 1/(4\pi\epsilon_0)$ dengan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa $\mathbb{R}^3$.

Persamaan terakhir dapat disederhanakan menjadi
\[ \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3}(\vec{r} - \vec{r}_1) = \frac{q_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^3}(\vec{r}_2 - \vec{r}) \]
sehingga haruslah dipenuhi
\[ \vec{r}_2 - \vec{r} = k(\vec{r} - \vec{r}_1)\operatorname{sgn}(q_1/q_2) \]
di mana $k \in \mathbb{R}^+$.

Dari persamaan terakhir, diperoleh
\[ \vec{r} = \frac{\vec{r}_2 + k\vec{r}_1\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}{1 + k\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}. \]
Untuk mencari $k$, maka dibutuhkan persamaan skalar yang diperoleh dari magnitudo persamaan kedua, yaitu
\[ \frac{|q_1|}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^2} = \frac{|q_2|}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^2}. \]
Dengan memasukkan persamaan ketiga ke persamaan terakhir, diperoleh
\[ k^2\operatorname{sgn}^2(q_1/q_2) = |q_2/q_1| \]
alias
\[ k = \sqrt{|q_2/q_1|}\operatorname{sgn}(q_2/q_1). \]
Karena $k$ tidak boleh negatif, maka
\[ k = \sqrt{|q_2/q_1|}. \]
Dengan memasukkan persamaan terakhir ini ke persamaan keempat, diperoleh
\[ \vec{r} = \frac{\vec{r}_2 + \sqrt{|q_2/q_1|}\vec{r}_1\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}{1 + \sqrt{|q_2/q_1|}\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}. \]
Persamaan ini terbukti sahih untuk berbagai macam situasi.
10
Mekanika Newton / Interaksi Gravitasi Partikel Bermassa dengan Partikel Tak Bermassa
« Tulisan terakhir oleh Albert Erros pada Januari 23, 2019, 08:10:46 PM »
\section{Interaksi Gravitasi Partikel Bermassa dengan Partikel Tak Bermassa}

Andaikan hanya ada dua buah partikel klasik non-relativistik di ruang fisis $\mathbb{R}^3$, serta hanya ada interaksi gravitasi antara keduanya.  Partikel pertama bermassa $m_1$ yang tidak nol dan terletak pada posisi $\vec{r}_1$ pada waktu $t_1$.  Partikel kedua bermassa $m_2 = 0$ dan terletak pada posisi $\vec{r}_2$ pada waktu $t$.  Selanjutnya akan dicari persamaan gerak kedua partikel tersebut.

Menurut hukum gravitasi Newton dan hukum kedua Newton, diperoleh
\[ m_1\ddot{\vec{r}}_1 = G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}(\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \]
dan
\[ m_2\ddot{\vec{r}}_2 = G\frac{m_2m_1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|^3}(\vec{r}_1 - \vec{r}_2). \]
Karena $m_2 = 0$, maka dari dua persamaan terakhir, diperoleh
\[ m_1\ddot{\vec{r}}_1 = \vec{0} \]
dan
\[ \vec{0} = \vec{0}, \]
sehingga dua persamaan terakhir, diperoleh kesimpulan bahwa partikel pertama akan bergerak lurus beraturan, sedangkan partikel kedua boleh bergerak sebarang.

Benarkah demikian?  Mohon koreksi dari Bapak, Ibu, Saudara, Saudari.
Halaman: [1] 2 3 ... 10