Messages

1

Baru Belajar / Re:gaya konservatif

« pada: Januari 07, 2020, 11:43:51 AM »

\[ A = \sum_{\text{$j,k=1$ \\ $j\neq k$}}^n a_{jk} \]

2

Teori Relativitas / Panjang, Luas, dan Volume Relativistik

« pada: Januari 01, 2020, 01:53:07 PM »

\section{Panjang, Luas, dan Volume Relativistik}

Panjang sebuah kurva $C \subset \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah
\[ L = \int_C \sqrt{(d\vec{r}\cdot\hat{v})^2/\gamma^2 + |d\vec{r} - d\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v}|^2} \]
di mana $\vec{r} \in C$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Luas sebuah permukaan $S \subset \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah
\[ A = \int_S \sqrt{(d\vec{r}\cdot\hat{v})^2 + |d\vec{r} - d\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v}|^2/\gamma^2} \]
di mana $\vec{r} \in S$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Volume sebuah bangun ruang $W \subseteq \mathbb{R}^3$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ adalah
\[ V = \int_W |d^3\vec{r}|/\gamma \]
di mana $\vec{r} \in W$, $\hat{v} := \vec{v}/v$, $v := |\vec{v}|$, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

3

Matematika Fisika Teori / Menalar Turunan Lie

« pada: Mei 31, 2019, 07:57:20 PM »

\section{Menalar Turunan Lie}

Turunan Lie dari tensor $T := {T^{\mu_1,\cdots,\mu_m}}_{\nu_1,\cdots,\nu_n}e_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes e_{\mu_m}\otimes e^{\nu^1}\otimes\cdots\otimes e^{\nu_n}$ sepanjang vektor $X := X^\lambda e_\lambda$ di titik $x\in M$ pada manifold $M$ berdimensi $p$ didefinisikan sebagai
\[ L_X T := \left(\lim_{\epsilon\to 0}\frac{T_x(x + \epsilon X)}{\epsilon}\right)_{\partial X/\partial x^\mu = 0} \]
untuk setiap $\mu\in\{1,\cdots,p\}$.

4

Listrik Magnet / Bentuk Kovarian dari Sistem Persamaan Maxwell

« pada: Mei 15, 2019, 10:47:20 PM »

\section{Bentuk Kovarian dari Sistem Persamaan Maxwell}

Sistem persamaan Maxwell yang paling umum adalah
\[ \nabla\cdot\vec{D} = \rho, ~~~~~ \nabla\cdot\vec{B} = 0, ~~~~~ \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, ~~~~~ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \]
di mana
\[ \vec{D} = \epsilon_0\vec{E} + \vec{P} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \vec{B} = \mu_0\vec{H} + \vec{M}. \]
Dari persamaan $\nabla\cdot\vec{B} = 0$, diperoleh $\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$, sehingga
\[ \nabla\times\left(\vec{E} + \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right) = \vec{0} \]
yang dengan menggunakan teori tera $\nabla\times\nabla\varphi = \vec{0}$, persamaan terakhir identik dengan
\[ \vec{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}. \]
Dari persamaan $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$, diperoleh
\[ \epsilon_0\nabla\cdot\vec{E} + \nabla\cdot\vec{P} = \rho \]
alias
\[ -\epsilon_0\left(\nabla^2\varphi + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{A}\right) + \nabla\cdot\vec{P} = \rho \]
alias
\[ -\epsilon_0c(\nabla^2A^0 + \partial_0\nabla\cdot\vec{A}) + \nabla\cdot\vec{P} = \rho \]
alias
\[ (-1/\mu_0)(\nabla^2A^0 + \partial_0\nabla\cdot\vec{A}) + c\nabla\cdot\vec{P} = J^0 \]
alias
\[ (-1/\mu_0)(\partial_j\partial^jA^0 + \partial_0\partial_jA^j) + c\partial_jP^j = J^0 \]
di mana $A^0 := \varphi/c$, $A^1 := A_x$, $A^2 := A_y$, $A^3 := A_z$, $J^0 := \rho c$, $J^1 := J_x$, $J^2 := J_y$, $J^3 := J_z$, $\partial_0 := (1/c)\partial/\partial t$, $\partial_1 := \partial/\partial x$, $\partial_2 := \partial/\partial y$, $\partial_3 := \partial/\partial z$, $A_\mu := g_{\mu\nu}A^\nu$, $J_\mu := g_{\mu\nu}J^\nu$, $\partial^\mu := g^{\mu\nu}\partial_\nu$, $g_{00} = -1$, $g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1$, dan $(g_{\mu\nu})_{\mu\neq\nu} = 0$.

Dari persamaan $\nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t$ dan $\vec{H} = (\vec{B} - \vec{M})/\mu_0$, diperoleh
\[ (1/\mu_0)(\nabla\times\vec{B} - \nabla\times\vec{M}) = \vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} + \frac{\partial\vec{P}}{\partial t} \]
alias
\[ (1/\mu_0)(\nabla(\nabla\cdot\vec{A}) - \nabla^2\vec{A} - \nabla\times\vec{M}) = \vec{J} - \epsilon_0\left(\nabla\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}\right) + \frac{\partial\vec{P}}{\partial t} \]
alias (dengan menerapkan identitas $\epsilon_0\mu_0c^2 = 1$)
\[ (1/\mu_0)(\partial^j\partial_kA^k - \partial_k\partial^kA^j - \epsilon^{jkl}\partial_kM_l) \]
\[ = J^j - \epsilon_0(c\partial^j\partial_0\varphi + c^2\partial_0\partial_0A^j) + c\partial_0P^j \]
\[ = J^j - \epsilon_0c^2(\partial^j\partial_0A^0 + \partial_0\partial_0A^j) + c\partial_0P^j \]
\[ = J^j - (1/\mu_0)(\partial^j\partial_0A^0 + \partial_0\partial_0A^j) + c\partial_0P^j \]
alias
\[ \partial^j\partial_kA^k - \partial_k\partial^kA^j - \epsilon^{jkl}\partial_kM_l = \mu_0J^j - \partial^j\partial_0A^0 + \partial_0\partial_0A^j + \mu_0c\partial_0P^j \]
alias
\[ \partial^j\partial_\mu A^\mu - \partial_\mu\partial^\mu A^j = \mu_0J^j + \epsilon^{jkl}\partial_kM_l + \mu_0c\partial_0P^j. \]
Karena dari persamaan terdahulu telah diperoleh
\[ \partial_j\partial^jA^0 - \partial^0\partial_jA^j - \mu_0c\partial_jP^j = -\mu_0J^0 \]
alias
\[ \partial^0\partial_jA^j - \partial_j\partial^jA^0 = \mu_0J^0 - \mu_0c\partial_jP^j \]
alias
\[ \partial^0\partial_jA^j + \partial^0\partial_0A^0 - \partial_j\partial^jA^0 - \partial_0\partial^0A^0 = \mu_0J^0 - \mu_0c\partial_jP^j \]
alias
\[ \partial^0\partial_\mu A^\mu - \partial_\mu\partial^\mu A^0 = \mu_0J^0 - \mu_0c\partial_jP^j, \]
maka diperoleh
\[ \partial^\nu\partial_\mu A^\mu - \partial_\mu\partial^\mu A^\nu = \mu_0J^\nu + C^\nu \]
alias
\[ \partial_\mu(\partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu) = \mu_0J^\nu + C^\nu \]
alias
\[ \partial_\mu F^{\nu\mu} = \mu_0J^\nu + C^\nu \]
yang merupakan bentuk kovarian dari sistem persamaan Maxwell, di mana $C^j := \epsilon^{jkl}\partial_kM_l + \mu_0c\partial_0P^j$ dan $C^0 := -\mu_0c\partial_jP^j$ serta $F^{\nu\mu} := \partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu$.

5

Fisika Kuantum / Laju Nilai Harap Besaran Fisis

« pada: April 11, 2019, 02:17:34 PM »

\section{Laju Nilai Harap Besaran Fisis}

Andaikan ada sebuah besaran fisis $Q(x, p, t) \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada posisi $x \in \mathbb{R}$, momentum linier $p \in \mathbb{R}$, dan waktu $t \in \mathbb{R}$, yang diwakili oleh operator linier $\hat{Q}$ yang Hermitean dan hanya bergantung pada waktu $t$.  Andaikan ada ket keadaan kuantum $|\psi\rangle $ yang normal, yaitu bahwa $\|\psi\|^2 = \langle\psi|\psi\rangle = 1$, dan hanya bergantung pada $t$, serta memenuhi persamaan Schrodinger, yaitu $\hat{H}|\psi\rangle  = i\hbar(d/dt)|\psi\rangle $, di mana $\hat{H}$ adalah operator Hamiltonian.  Didefinisikan pula $\langle x|\psi\rangle  := \psi(x)$ dan $\langle p|\psi\rangle  := \tilde{\psi}(p)$ di mana $\tilde{\psi}$ adalah transformasi Fourier dari $\psi$.  Di sini, $\langle p|\hat{Q}|x\rangle  = Q(x, p, t)$.

Oleh karena itu, laju nilai harap dari $Q$ adalah
\[ \frac{d}{dt}\langle  Q\rangle _\psi = \frac{d}{dt}(\langle \psi|\hat{Q}|\psi\rangle ) = \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{\partial}{\partial t}(\langle \psi|p\rangle ) \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  x|\psi\rangle )\right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\hat{H}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{i}{\hbar}\langle \psi|\hat{H}|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  + \langle \psi|p\rangle  \langle  p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle  \langle  x|\psi\rangle  - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle  \langle  p|\hat{Q}|x\rangle  \langle  x|\hat{H}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|(\hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H})|\psi\rangle  + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle.  \]
Oleh karena itu,
\[ \frac{d}{dt}\langle  Q\rangle _\psi = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|[\hat{H}, \hat{Q}]|\psi\rangle  + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle  \]
di mana didefinisikan komutasi $[\hat{H}, \hat{Q}] := \hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H}$.

Untuk menghitung $\langle \psi|(d\hat{Q}/dt)|\psi\rangle $, dapat dilakukan penguraian, yaitu
\[ \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle  = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle  \frac{\partial}{\partial t}(\langle  p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle  x|\psi\rangle  \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \tilde{\psi}^*(p) \frac{\partial Q(x, p, t)}{\partial t} \psi(x). \]

Untuk mencari $\tilde{\psi}(p)$, dapat dilakukan penguraian, yaitu
\[ \tilde{\psi}(p) = \langle p|\psi\rangle  = \int_{\mathbb{R}} dx \langle p|x\rangle  \langle x|\psi\rangle . \]

Untuk mencari $\langle p|x\rangle $, dapat dilakukan penguraian dengan tambahan posisi lain $x' \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ \langle x'|x\rangle  = \int_{\mathbb{R}} dp \langle x'|p\rangle  \langle p|x\rangle  \]
yang harus sama dengan delta Dirac $\delta(x - x')$, sehingga
\[ \langle x'|x\rangle  = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{\mathbb{R}} dp e^{ip(x - x')/\hbar}, \]
sehingga haruslah
\[ \langle x|p\rangle  = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}. \]

6

Fisika Dasar / Jangkauan Maksimum Gerak Parabola pada Bidang Miring

« pada: Maret 07, 2019, 01:19:47 AM »

\[ a_x = -g\sin\alpha \]
\[ a_y = -g\cos\alpha \]
\[ v_x = v_0\cos\beta - gt\sin\alpha \]
\[ v_y = v_0\sin\beta - gt\cos\alpha \]
\[ x = v_0t\cos\beta - (1/2)gt^2\sin\alpha \]
\[ y = v_0t\sin\beta - (1/2)gt^2\cos\alpha \]
\[ y = 0 \]
\[ t = T = (2v_0\sin\beta)/(g\cos\alpha) \]
\[ R = v_0T\cos\beta - (1/2)gT^2\sin\alpha \]
\[ R = \frac{2v_0^2\sin\beta}{g\cos\alpha}(\cos\beta - \sin\beta\tan\alpha) \]
\[ dR/d\beta = 0 \]
\[ \tan2\beta = \cot\alpha \]
\[ \beta = \pi/4 - \alpha/2 \]

7

Fisika Matematik / Keanehan Bentuk Tak Tentu dalam Analisis Vektor

« pada: Februari 10, 2019, 08:50:05 PM »

\section{Keanehan Bentuk Tak Tentu dalam Analisis Vektor}

Andaikan ada sebuah vektor posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Mungkin kita semua akan mengira bahwa ungkapan $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$ itu bernilai nol untuk setiap $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Ternyata dugaan ini keliru, sebab apabila $\vec{r} = \vec{0}$, maka ungkapan $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$ tidaklah bernilai nol mengingat $3/0 - 3(0)/0$ itu merupakan bentuk tak tentu.  Pada kesempatan ini, saya akan menunjukkan hasil yang sebenarnya dari $3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$, yaitu bahwa ternyata
\[ 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3 = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}) \]
di mana $\delta^{(3)}$ adalah delta Dirac pada ruang $\mathbb{R}^3$.

Untuk menunjukkan kesamaan terakhir ini, mula-mula kita akan menghitung nilai $\nabla^2(1/|\vec{r}|)$ untuk semua $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.

Dengan analisis vektor dan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, kita peroleh bahwa $\nabla^2(1/|\vec{r}|)$ $= \partial_j\partial_j(x_kx_k)^{-1/2}$ $= -\partial_j(x_j(x_kx_k)^{-3/2})$ $= -3(x_kx_k)^{-3/2} + 3x_jx_j(x_kx_k)^{-5/2}$ $= 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3$, di mana $x_j$ didefinisikan sedemikan $\vec{r} := x_j\hat{x}_j$ dengan $\{\hat{x}_j ~|~ j\in\{1, 2, 3\}\}$ adalah basis ortonormal, serta didefinisikan $\partial_j := \partial/\partial x_j$.  Di sini kita tidak dapat mengatakan bahwa $|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 = 1/|\vec{r}|^3$, sebab apabila $\vec{r} = \vec{0}$, ungkapan tersebut tidak berlaku, mengingat $0/0$ adalah bentuk tak tentu.

Selanjutnya, kita akan mencoba menerapkan teorema Stokes, yaitu
\[ \oint_{\partial V} \vec{A}\cdot d^2\vec{r} = \int_V \nabla\cdot\vec{A} d^3\vec{r}. \]
Dengan memisalkan $\vec{A} := \nabla(1/|\vec{r}|)$ dan $V := \mathbb{R}^3$, maka diperoleh
\[ \int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2(1/|\vec{r}|)d^3\vec{r} = \oint_{\partial\mathbb{R}^3} \nabla(1/|\vec{r}|)\cdot d^2\vec{r}. \]
Karena diketahui bahwa
\[ d^2\vec{r} := \hat{r}|\vec{r}|^2\sin\theta d\theta\wedge d\phi + \hat{\theta}|\vec{r}|\sin\theta d\phi\wedge d|\vec{r}| + \hat{\phi}|\vec{r}|d|\vec{r}|\wedge d\theta \]
di mana $\hat{r} := \vec{r}/|\vec{r}|$, $\theta := \arctan_2(x_3, \sqrt{x_1^2 + x_2^2})$, $\phi := \arctan_2(x_1, x_2)$, $\hat{\theta} := \vec{e}_\theta/|\vec{e}_\theta|$, $\hat{\phi} := \vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi|$, $\vec{e}_\theta := \partial\vec{r}/\partial\theta$, dan $\vec{e}_\phi := \partial\vec{r}/\partial\phi$, maka
\[ \int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2(1/|\vec{r}|)d^3\vec{r} = -\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\theta d\theta d\phi = -4\pi. \]
Terpaksa, kita anggap bahwa $\nabla^2(1/|\vec{r}|) = \alpha\delta^{(3)}(\vec{r})$ di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah tetapan.  Dari sifat delta Dirac, yaitu
\[ \int_{\mathbb{R}^3} \delta^{(3)}(\vec{r})d^3\vec{r} = 1, \]
maka diperoleh $\alpha = -4\pi$, sehingga
\[ \nabla^2(1/|\vec{r}|) = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}). \]
Karena tadi, kita peroleh bahwa
\[ \nabla^2(1/|\vec{r}|) = 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3, \]
maka akhirnya, terbuktilah bahwa
\[ 3|\vec{r}|^2/|\vec{r}|^5 - 3/|\vec{r}|^3 = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r}). \]

8

Fisika / Waktu Relatif

« pada: Februari 02, 2019, 06:54:11 PM »

\section{Waktu Relatif}

Besaran waktu itu merupakan pelabelan (penyematan) nilai yang disepakati oleh sebuah benda (pengamat).

Andaikan pada suatu saat tertentu, waktu menurut pengamat $A$ adalah $t_A \in \mathbb{R}$, serta waktu menurut pengamat $B$ adalah $t_B \in \mathbb{R}$.  Andaikan pula, pada suatu saat tertentu yang lain, waktu menurut pengamat $A$ adalah $t'_A \in \mathbb{R}$, serta waktu menurut pengamat $B$ adalah $t'_B \in \mathbb{R}$.  Apabila hubungan antara waktu menurut $A$, yaitu $T_A \in \mathbb{R}$, dan waktu menurut $B$, yaitu $T_B \in \mathbb{R}$ adalah linier, maka berlakulah kaitan
\[ T_B = MT_A + N \]
di mana $M, N \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian.

Dengan memasukkan nilai $(T_A, T_B) = (t_A, t_B)$ dan $(T_A, T_B) = (t'_A, t'_B)$, maka diperoleh sistem persamaan
\[ t_B = Mt_A + N ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ t'_B = Mt'_A + N \]
yang apabila disajikan dalam bentuk matriks, keduanya menjadi
\[ \begin{pmatrix} t_B \\ t'_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_A & 1 \\ t'_A & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M \\ N \end{pmatrix}. \]

Dengan aturan Cramer, serta dengan mendefinisikan
\[ T := \begin{vmatrix} t_A & 1 \\ t'_A & 1 \end{vmatrix}, ~~~~~ m := \begin{vmatrix} t_B & 1 \\ t'_B & 1 \end{vmatrix}, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ n := \begin{vmatrix} t_A & t_B \\ t'_A & t'_B \end{vmatrix}, \]
alias
\[ T = t_A - t'_A, ~~~~~ m = t_B - t'_B, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ n = t_At'_B - t'_At_B, \]
sehingga
\[ M = \frac{m}{T} = \frac{t_B - t'_B}{t_A - t'_A} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ N = \frac{n}{T} = \frac{t_At'_B - t'_At_B}{t_A - t'_A}. \]
Dengan memasukkan nilai $M$ dan $N$ ke persamaan pertama, diperoleh hubungan relatif antara $T_A$ dan $T_B$, yaitu
\[ T_B = \frac{(t_B - t'_B)T_A + (t_At'_B - t'_At_B)}{t_A - t'_A}. \]

Rumus ini ditemukan oleh R. Tao R. H.

9

Fisika Matematik / Deret Ganda

« pada: Februari 02, 2019, 11:37:07 AM »

\section{Deret Ganda}

Secara umum, sebuah deret ganda memiliki bentuk
\[ S := \sum_{j_1,\cdots,j_n\in\mathbb{N}} u_{j_1,\cdots,j_n} \]
di mana $u_{j_1,\cdots,j_n} \in \mathbb{R}$ untuk setiap $j_1,\cdots,j_n\in\mathbb{N}$.

Deret ganda $S$ ini dapat dianggap sebagai deret tunggal, yaitu
\[ S = \sum_{j_k\in\mathbb{N}} v_{j_k} \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$ di mana
\[ v_{j_k} := \sum_{j_1,\cdots,j_{k-1},j_{k+1},\cdots,j_n\in\mathbb{N}} u_{j_1,\cdots,j_n} \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$.

Melalui tes rasio, deret ganda $S$ dapat diuji konvergenitasnya, dengan menganggap $S$ adalah deret tunggal, yaitu bahwa
\[ \lim_{j_k\to\infty} \left|\frac{v_{j_k + 1}}{v_{j_k}}\right| < 1 \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$.

Dengan memasukkan nilai $v_{j_k}$, diperoleh syarat konvergenitas deret ganda $S$ tersebut, yaitu
\[ \lim_{j_k\to\infty} \left|\frac{\sum_{j_1,\cdots,j_{k-1},j_{k+1},\cdots,j_n\in\mathbb{N}} u_{j_1,\cdots,j_{k - 1},(j_k + 1),j_{k + 1},\cdots,j_n}}{\sum_{j'_1,\cdots,j'_{k-1},j'_{k+1},\cdots,j'_n\in\mathbb{N}} u_{j'_1,\cdots,j'_n}}\right| < 1 \]
untuk setiap $k\in\{1,\cdots,n\}$.

Apabila persamaan terakhir dipenuhi, maka deret ganda $S$ bersifat konvergen.

10

Matematika / Fungsi Tanda

« pada: Februari 01, 2019, 11:19:25 AM »

\section{Fungsi Tanda}

Fungsi tanda $\operatorname{sgn}\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ didefinisikan sedemikian
\[ \operatorname{sgn}x := \begin{cases}  1 & \text{jika $x > 0$} \\ 0 & \text{jika $x = 0$} \\ -1 & \text{jika $x < 0$} \end{cases}. \]
Sifat-sifat dari fungsi $\operatorname{sgn}$ ini antara lain
\[ \operatorname{sgn}(xy) = (\operatorname{sgn}x)(\operatorname{sgn}y) \]
dan
\[ \operatorname{sgn}(1/x) = 1/\operatorname{sgn}x \]
untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$.

Selain itu, diperoleh teorema, yaitu
\[ |x| = x\operatorname{sgn}x \]
dan
\[ x = |x|\operatorname{sgn}x \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$

Hati-hati, bahwa ternyata
\[ (\operatorname{sgn}x)^2 \neq 1 \]
melainkan
\[ (\operatorname{sgn}x)^2 = \begin{cases} 0 & \text{jika $x = 0$} \\ 1 & \text{jika $x \neq 0$} \end{cases} \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$.

11

Listrik Magnet / Menentukan Lokasi tempat tidak Adanya Gaya Coulomb

« pada: Januari 31, 2019, 05:15:32 PM »

\section{Menentukan Lokasi tempat tidak Adanya Gaya Coulomb}

Andaikan terdapat dua buah muatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R}$ yang berturut-turut terletak di posisi $\vec{r}_1, \vec{r}_2 \in \mathbb{R}^3$.  Andaikan lokasi tempat muatan uji $q \in \mathbb{R}$ tidak mengalami gaya Coulomb terletak pada posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$.  Oleh karena itu, menurut hukum Coulomb, berlakulah kaitan
\[ \kappa\frac{qq_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3}(\vec{r} - \vec{r}_1) + \kappa\frac{qq_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|^3}(\vec{r} - \vec{r}_2) = \vec{0} \]
di mana didefinisikan $\kappa := 1/(4\pi\epsilon_0)$ dengan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa $\mathbb{R}^3$.

Persamaan terakhir dapat disederhanakan menjadi
\[ \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3}(\vec{r} - \vec{r}_1) = \frac{q_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^3}(\vec{r}_2 - \vec{r}) \]
sehingga haruslah dipenuhi
\[ \vec{r}_2 - \vec{r} = k(\vec{r} - \vec{r}_1)\operatorname{sgn}(q_1/q_2) \]
di mana $k \in \mathbb{R}^+$.

Dari persamaan terakhir, diperoleh
\[ \vec{r} = \frac{\vec{r}_2 + k\vec{r}_1\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}{1 + k\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}. \]
Untuk mencari $k$, maka dibutuhkan persamaan skalar yang diperoleh dari magnitudo persamaan kedua, yaitu
\[ \frac{|q_1|}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^2} = \frac{|q_2|}{|\vec{r}_2 - \vec{r}|^2}. \]
Dengan memasukkan persamaan ketiga ke persamaan terakhir, diperoleh
\[ k^2\operatorname{sgn}^2(q_1/q_2) = |q_2/q_1| \]
alias
\[ k = \sqrt{|q_2/q_1|}\operatorname{sgn}(q_2/q_1). \]
Karena $k$ tidak boleh negatif, maka
\[ k = \sqrt{|q_2/q_1|}. \]
Dengan memasukkan persamaan terakhir ini ke persamaan keempat, diperoleh
\[ \vec{r} = \frac{\vec{r}_2 + \sqrt{|q_2/q_1|}\vec{r}_1\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}{1 + \sqrt{|q_2/q_1|}\operatorname{sgn}(q_1/q_2)}. \]
Persamaan ini terbukti sahih untuk berbagai macam situasi.

12

Mekanika Newton / Interaksi Gravitasi Partikel Bermassa dengan Partikel Tak Bermassa

« pada: Januari 23, 2019, 08:10:46 PM »

\section{Interaksi Gravitasi Partikel Bermassa dengan Partikel Tak Bermassa}

Andaikan hanya ada dua buah partikel klasik non-relativistik di ruang fisis $\mathbb{R}^3$, serta hanya ada interaksi gravitasi antara keduanya.  Partikel pertama bermassa $m_1$ yang tidak nol dan terletak pada posisi $\vec{r}_1$ pada waktu $t_1$.  Partikel kedua bermassa $m_2 = 0$ dan terletak pada posisi $\vec{r}_2$ pada waktu $t$.  Selanjutnya akan dicari persamaan gerak kedua partikel tersebut.

Menurut hukum gravitasi Newton dan hukum kedua Newton, diperoleh
\[ m_1\ddot{\vec{r}}_1 = G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}(\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \]
dan
\[ m_2\ddot{\vec{r}}_2 = G\frac{m_2m_1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|^3}(\vec{r}_1 - \vec{r}_2). \]
Karena $m_2 = 0$, maka dari dua persamaan terakhir, diperoleh
\[ m_1\ddot{\vec{r}}_1 = \vec{0} \]
dan
\[ \vec{0} = \vec{0}, \]
sehingga dua persamaan terakhir, diperoleh kesimpulan bahwa partikel pertama akan bergerak lurus beraturan, sedangkan partikel kedua boleh bergerak sebarang.

Benarkah demikian?  Mohon koreksi dari Bapak, Ibu, Saudara, Saudari.

13

Matematika Fisika Teori / Cara Menentukan Ruang Vektor Singgung pada Sebuah Manifold

« pada: Januari 09, 2019, 05:29:04 AM »

\section{Cara Menentukan Ruang Vektor Singgung pada Sebuah Manifold}

Andaikan ada sebuah manifold berdimensi $n$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^m$ (di mana $n < m$), yaitu

\[ M := \{p := f(q_1, \cdots, q_n) \in \mathbb{R}^m ~|~ q_1,\cdots,q_n\in\mathbb{R}\} \]

di mana $f\,:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ adalah sebuah fungsi licin.

Ruang vektor singgung pada manifold $M$ di titik $p\in M$ tentu saja adalah

\[ T_pM := \{p + \sum_{j=1}^n x_j\partial p/\partial q_j ~|~ x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{R}\} \]

di mana $q_1,\cdots,q_n\in\mathbb{R}$ adalah $n$ buah parameter riil milik manifold $M$.

14

Fisika Dasar / Percepatan Tangensial

« pada: Juni 04, 2018, 12:12:44 PM »

Percepatan tangensial didefinisikan sebagai
\[ \vec{a}_t := \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\frac{\vec{v}}{v}\frac{\vec{v}}{v} \]
di mana $\vec{v}$ adalah kecepatan, $t$ adalah waktu, dan $v := |\vec{v}| = (v_jv_j)^{1/2}$ adalah kelajuan, dengan menggunakan sistem koordinat Cartesian dan kesepakatan penjumlahan Einstein, serta $v_j$ adalah komponen Cartesian ke-$j$ dari vektor $\vec{v}$.

Ternyata,
\[ \vec{a}_t = \frac{dv_j}{dt}\frac{v_j}{v}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{dv_j}{dt}\frac{v_j}{(v_kv_k)^{1/2}}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{d}{dt}(v_jv_j)^{1/2}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{dv}{dt}\frac{\vec{v}}{v}. \]

15

Fisika Matematik / Re:Evolut Kurva

« pada: Juni 04, 2018, 10:22:07 AM »

Misalkan di $\mathbb{R}^3$ ada elips $\{(x,y,z)~|~x^2/a^2+y^2/b^2=1,~z=0\}$, yang parameter-isasi-nya (misalnya) $x=a\cos\phi$ dan $y=b\sin\phi$, sehingga $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}=\vec{i}a\cos\phi+\vec{j}b\sin\phi$. Apabila $\dot{Q}:=dQ/d\phi$ dan $\ddot{Q}:=d\dot{Q}/d\phi$, maka $\dot{\vec{r}}=-\vec{i}a\sin\phi+\vec{j}b\cos\phi$ dan $\ddot{\vec{r}}=-\vec{i}a\cos\phi-\vec{j}b\sin\phi=-\vec{r}$, serta $|\dot{\vec{r}}|^2=a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi$.

Selanjutnya, $\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}}=\vec{k}ab$, lantas $(\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}})\times\dot{\vec{r}}=-ab(\vec{i}b\cos\phi+\vec{j}a\sin\phi)$ serta $|\dot{\vec{r}}\times\ddot{\vec{r}}|^2=a^2b^2$, sehingga

\[ \vec{s}-\vec{r}=-\frac{a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi}{ab}(\vec{i}b\cos\phi+\vec{j}a\sin\phi). \]

Karena $\vec{s}:=x_e\vec{i}+y_e\vec{j}$ merupakan posisi pusat kelengkuangan elips di titik $\vec{r}$, maka
\[ x_e=\frac{a^2-b^2}{a}\cos^3\phi \]
dan
\[ y_e=\frac{b^2-a^2}{b}\sin^3\phi. \]

Mengingat
\[ \cos^2\phi=\left(\frac{ax_e}{a^2-b^2}\right)^{2/3} \]
dan
\[ \sin^2\phi=\left(\frac{by_e}{a^2-b^2}\right)^{2/3}, \]
maka $\{(x,y,z)~|~(ax_e)^{2/3}+(by_e)^{2/3}=(a^2-b^2)^{2/3},~z=0\}$ merupakan evolut bagi elips tersebut.