Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
\section{Laju Nilai Harap Besaran Fisis}
Andaikan ada sebuah besaran fisis $Q(x, p, t) \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada posisi $x \in \mathbb{R}$, momentum linier $p \in \mathbb{R}$, dan waktu $t \in \mathbb{R}$, yang diwakili oleh operator linier $\hat{Q}$ yang Hermitean dan hanya bergantung pada waktu $t$. Andaikan ada ket keadaan kuantum $|\psi\rangle $ yang normal, yaitu bahwa $\|\psi\|^2 = \langle\psi|\psi\rangle = 1$, dan hanya bergantung pada $t$, serta memenuhi persamaan Schrodinger, yaitu $\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar(d/dt)|\psi\rangle $, di mana $\hat{H}$ adalah operator Hamiltonian. Didefinisikan pula $\langle x|\psi\rangle := \psi(x)$ dan $\langle p|\psi\rangle := \tilde{\psi}(p)$ di mana $\tilde{\psi}$ adalah transformasi Fourier dari $\psi$. Di sini, $\langle p|\hat{Q}|x\rangle = Q(x, p, t)$.
Oleh karena itu, laju nilai harap dari $Q$ adalah
\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle _\psi = \frac{d}{dt}(\langle \psi|\hat{Q}|\psi\rangle ) = \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\psi\rangle \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{\partial}{\partial t}(\langle \psi|p\rangle ) \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\psi\rangle + \langle \psi|p\rangle \frac{\partial}{\partial t}(\langle p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle x|\psi\rangle + \langle \psi|p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \frac{\partial}{\partial t}(\langle x|\psi\rangle )\right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\psi\rangle + \langle \psi|p\rangle \langle p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle \langle x|\psi\rangle + \langle \psi|p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\frac{d}{dt}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\psi\rangle \right)^\dagger |p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\psi\rangle + \langle \psi|p\rangle \langle p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle \langle x|\psi\rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\hat{H}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \left(\frac{i}{\hbar}\langle \psi|\hat{H}|p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\psi\rangle + \langle \psi|p\rangle \langle p|\frac{d\hat{Q}}{dt}|x\rangle \langle x|\psi\rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi|p\rangle \langle p|\hat{Q}|x\rangle \langle x|\hat{H}|\psi\rangle \right) \]
\[ = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|(\hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H})|\psi\rangle + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle. \]
Oleh karena itu,
\[ \frac{d}{dt}\langle Q\rangle _\psi = \frac{i}{\hbar}\langle \psi|[\hat{H}, \hat{Q}]|\psi\rangle + \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle \]
di mana didefinisikan komutasi $[\hat{H}, \hat{Q}] := \hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H}$.
Untuk menghitung $\langle \psi|(d\hat{Q}/dt)|\psi\rangle $, dapat dilakukan penguraian, yaitu
\[ \langle \psi|\frac{d\hat{Q}}{dt}|\psi\rangle = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \langle \psi|p\rangle \frac{\partial}{\partial t}(\langle p|\hat{Q}|x\rangle ) \langle x|\psi\rangle \]
\[ = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} dp\,dx \tilde{\psi}^*(p) \frac{\partial Q(x, p, t)}{\partial t} \psi(x). \]
Untuk mencari $\tilde{\psi}(p)$, dapat dilakukan penguraian, yaitu
\[ \tilde{\psi}(p) = \langle p|\psi\rangle = \int_{\mathbb{R}} dx \langle p|x\rangle \langle x|\psi\rangle . \]
Untuk mencari $\langle p|x\rangle $, dapat dilakukan penguraian dengan tambahan posisi lain $x' \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ \langle x'|x\rangle = \int_{\mathbb{R}} dp \langle x'|p\rangle \langle p|x\rangle \]
yang harus sama dengan delta Dirac $\delta(x - x')$, sehingga
\[ \langle x'|x\rangle = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{\mathbb{R}} dp e^{ip(x - x')/\hbar}, \]
sehingga haruslah
\[ \langle x|p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}. \]
Berkah Dalem Gusti.
